3) Le coniche nel piano: la geometria, le relazioni (...penso che Dio abbia disegnato le traiettorie celesti usando un piano e una superficie conica...)

Le coniche sono una famiglie di curve piane generate da un punto P che si muove in modo che sia costante il rapporto tra le sue distanze: da un punto fisso detto fuoco ; da una retta detta direttrice. Tale rapporto è detto eccentricità (e).

Possiamo avere 3 casi:
e < 1 ELLISSE (comprendente la circonferenza con e = 0)
sono orbite limitate che riguardano satelliti e pianeti. In particolare i satelliti hanno per lo più eccentricità molto basse.
Come vedremo in seguito ad e<0 è associata una energia totale del sistema minore di 0.
e = 1 PARABOLA
sono orbite aperte che riguardano la maggior parte delle comete.
Ad e=1 è associata una energia totale del sistema uguale a 0
e > 1 IPERBOLE
sono orbite aperte abbastanza rare che riguardano una piccola parte di comete e navicelle spaziali passanti in prossimità di pianeti.
Ad e>1 è associata una energia totale del sistema maggiore di 0

L'equazione di una conica in coordinate polari è:

eq 3.1

dove r e theta sono il raggio e l'anomalia mentre d ed e sono la distanza del fuoco dalla direttrice e l'eccentricità, cioè i due numeri reali che ne definiscono la forma (in coordinate cartesiane si userebbero i due semiassi: maggiore a e minore b).

definendo quindi con:
r_a il raggio all'apogeo (punto più vicino al fuoco)
r_p il raggio al perigeo (punto più lontano dal fuoco)
a  il semiasse maggiore
b  il semiasse minore
d  la distanza dalla direttrice
e  l' eccentricità

per un'ellisse si hanno le relazioni :

eqq 3.2

eq 3.3

eq. 3.4

eq 3.5

eq 3.6

4)Le coniche nello spazio: i 6 elementi classici delle orbite kepleriane

Per fissare nello spazio una conica sono necessari più dei due numeri visti in precedenza. Preliminarmente abbiamo bisogno di fissare:
un piano di riferimento e una direzione di riferimento su questo piano.

Per il piano si possono scegliere:

a) il piano dell'eclittica per le orbite dei pianeti, asteroidi, comete, ecc.
b) il piano dell'equatore terrestre per le orbite dei satelliti (luna e artificiali).

Per la direzione si sceglie la direzione individuata dai punti: centro della terra vs la posizione del sole nell'istante in cui attraversa da sud a nord il piano dell'equatore (detto punto gamma o punto vernale o meno opportunamente primo punto d'Ariete). Praticamente è il punto occupato dal sole nell'istante dell'equinozio di primavera. Attualmente si proietta nella costellazione dei Pesci (è opportuno che qualcuno informi gli astrologi della precessione degli equinozi e della loro dabbenaggine).

Ciò premesso rimando ai numerosi siti e fonti per approfondimenti sulle coordinate equatoriali e gli elementi orbitali (link)

L'elenco dei parametri è quindi:

due parametri per la forma dell'ellisse:

a semiasse maggiore dell'ellisse

e eccentricità dell'orbita

tre parametri per l'orientazione nello spazio:

i inclinazione del piano dell'orbita rispetto a quello di riferimento (valori di 90° indicano orbite polari mentre superiori a 90°  e fino a 270° indicano orbite di oggetti che si muovono in senso retrogrado opposto alla rotazione e rivoluzione della terra (antiorario). Quest'ultimo caso è però poco frequente in quanto nella messa in orbita si preferisce la direzione est sfruttando così l'energia cinetica "gratuita" che ci fornisce la terra nella sua rotazione diurna.

Omega (maiuscolo) longitudine del nodo ascendente (il punto in cui il corpo orbitante attraversa da sud a nord il piano equatoriale) misurata come angolo sul piano di riferimento a partire dal punto gamma in senso antiorario visto da nord. E' detta anche ascensione retta del nodo ascendente RAAN.

omega (minuscolo) argomento del perigeo l'angolo misurato sul piano dell'orbita tra il nodo ascendente e il perigeo nel senso del moto del satellite.

immagine tratta dal citato  "Orbital Motion" 

un parametro che svolga la funzione di condizione iniziale di tempo vs posizione del corpo sull'orbita.
Classicamente si indica l'epoca del passaggio al perielio, ma nel caso di orbite molto poco eccentriche è difficile stabilire esattamente questa data e si preferisce fornire la coppia di dati: epoca e anomalia media a quell'epoca. L'anomalia media è l'angolo misurato sul piano dell'orbita in senso antiorario tra il perigeo e la posizione che l'oggetto avrebbe se si fosse mosso a una velocità media costante su una circonferenza della stessa area dell'ellisse.

Alcune volte definendo un orbita classica si aggiunge un parametro accessorio (in quanto ricavabile dai precedenti) che è il Periodo indicato con P ovvero il tempo impiegato per una rivoluzione completa.