1) Alcune importanti definizioni

La forza è quella cosa che modifica la velocità (in direzione e/o in modulo) di un oggetto (di massa costante). Per esempio per ruotare un sasso legato ad un filo bisogna farlo continuamente curvare (cambiare direzione) e perciò bisogna applicargli una forza per es. tramite il filo.

Noi siamo più abituati a pensare che le forze si trasmettano per mezzo di materia a contatto di altra materia: un filo, una mano che spinge, un sistema meccanico di leve e ingranaggi. Ci stupiamo un po' quando le forze agiscono a "distanza".
Come fa ad esempio la Luna a subire una forza esercitata dalla Terra? Chi gli dice che si trova vicino alla Terra, come lo sa ?
In realtà lo spazio intorno alla Terra contiene in sè l'informazione di essere vicino alla Terra. In altre parole è modificato in qualche suo aspetto direi nascosto. Si dice che è sede di un campo di forze (Einstein avrebbe detto è curvato). A proposito di un campo di forze ricordo il Braghetti che ci disse: "un campo di forze? Io al massimo posso descrivervi un campo di patate..." Lasciamo perdere.

La forza f applicata ad un corpo di massa costante m è data da:

eq 1.1

Nel caso particolare di un moto circolare uniforme dove r è il raggio della circonferenza e v è la velocità sempre costante in modulo ma sempre variabile in direzione risulta che:

eq 1.2

Una forza che è diretta sempre verso lo stesso punto (es centro di una circonferenza o uno dei fuochi di un'ellisse) si dice forza centrale.

Si definisce forza conservativa se il suo lavoro può essere desunto dalla variazione di una grandezza chiamata energia potenziale calcolata solo nei punti finale ed iniziale.

La forza gravitazionale è centrale e conservativa.

Il momento angolare L di una particella di massa m che si muove con velocità v è definito come:

eq 1.3

(p è definita quantità di moto) Se L e r sono ortogonali allora L = r m v

Si dimostra che in presenza di una sola forza centrale, L riferito al centro del moto è una costante e viceversa. Vale cioè la corrispondenza biunivoca:

forza centrale <= > momento angolare costante

La costanza del momento angolare insieme alla costanza della energia permette, in presenza di forze conservative, la risoluzione della equazione del moto (sia della traiettoria che oraria) e di tutti gli altri elementi del moto, noti che siano (oltre la massa) il vettore velocità e il vettore posizione ad un dato istante per esempio quello iniziale.

Approfondimenti sul moto in presenza di forze centrali conservative

Il periodo P è il tempo impiegato a compiere un orbita completa. Nel caso di una traiettoria circolare di raggio r e velocità v è facile convincersi che:

eq 1.4

2) Prime leggi sulla gravitazione

Le leggi della gravitazione sono di validità generale e si applicano sia a sistemi planetari sia ai satelliti con opportuni affinamenti.

Le tre leggi di Keplero risultato di accurate analisi delle misure compiute da Tycho Brahe sono una buona descrizione cinematica del moto planetario. Eccole con un mio breve commento:

1) I pianeti descrivono orbite ellittiche in cui il sole occupa uno dei fuochi.

In generale un corpo soggetto a forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza si muove su una traiettoria che è una "sezione conica" cioè: ellisse (di cui un caso particolare è la circonferenza), iperbole o parabola

2) Il vettore posizione di ogni pianeta rispetto al sole spazza aree uguali in tempi uguali

Questa legge è una diretta conseguenza della costanza del momento angolare in quanto r e v devono essere inversamente proporzionali, e quindi quando il pianeta si avvicina al sole cioè r diminuisce, allora v deve aumentare, viceversa viceversa.

3) I quadrati dei periodi (P) di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dei pianeti dal sole. (P² = k r³)

Newton utilizzò la 3 legge per un orbita circolare e dimostrando che la forza deve essere centrale e inversamente proporzionale al quadrato della distanza r. Generalizzò poi il risultato a qualsiasi orbita formulando la:

legge di gravitazione universale di Newton (il grande):

l'interazione gravitazionale tra due corpi consiste in una forza centrale attrattiva proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza, cioè:

eq 2

dove m e M sono le due masse, gamma è una costante che vale 6,67 10^-11 N m² Kg^-2

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