6) Orbite circolari:

La maggior parte dei satelliti e molti pianeti hanno eccentricità prossima a zero e si possono considerarne le orbite come circolari.
Uguagliando la forza centripeta dalla eq 1.2 per una traiettoria circolare alla forza gravitazionale data dalla eq 2, si ricava la velocità orbitale:

eq 6.1

Essa è costante essendo il raggio costante. Notiamo che la velocità NON dipende dalla massa del corpo che orbita, ma solo dal raggio dell'orbita e decresce con esso. Ad ogni altezza corrisponde quindi un'unica velocità orbitale compatibile con un'orbita circolare.

Sostituendo nella eq. 6.1 la velocità data dalla 1.4 si ha

eq 6.2

che conferma la terza legge di Keplero.

Ricavando il raggio dalla 6.2 può calcolarsi una particolare orbita che abbia il periodo coincidente con quello di rotazione della terra (23^h 56^m 4,09054^s = giorno siderale). A questo particolare raggio che vale 42164,16 Km un satellite è geostazionario (come quelli su cui sono puntate le parabole dei nostri tetti) in quanto completa un'orbita nello stesso tempo in cui il nostro pianeta completa una rotazione intorno al proprio asse e permane quindi sempre sopra lo stesso punto del nostro equatore (se i = 0). Altrimenti va su e giù lungo lo stesso meridiano (se i diversa da 0). E' detto allora geosincrono.

Sostituendo il valore della velocità della 6.1 nella eq 5.1 si ottiene l'energia:

eq 6.3

Il momento angolare è dato semplicemente da:

eq 6.4

essendo costantemente ortogonali i vettori raggio e la velocità

7) Orbite ellittiche

Nel caso di un orbita ellittica, combinando la eq. 5.2 con la eq. 3.4 si ottiene anche la:

  eq 7.1

Combinando poi la 5.3 con la 5 si ottiene:

eq 7.2

Che nella 7.1 da finalmente la semplice:

eq 7.3

Che è molto simile a quella corrispondente per le orbite circolari dove al posto del raggio compare il semiasse maggiore dell'ellisse.

Sostituendo nella 7.2 il valore e d ricavabile dalla 3.4 si ottiene anche:

eq 7.4

Possiamo ricavare la velocità combinando la 7.3 con la 5.1

eq 7.5

stavolta la velocità non è costante, ma dipende dalla posizione dell'oggetto nell'orbita in particolare aumenta con il diminuire di r.

Per finire si dimostra che il periodo è dato da:

eq 7.6

formalmente identica a quella per le orbite circolari.